包租婆,厕所又没纸啦!怎么避免上厕所没有纸?

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人的一生难免会遇到很多尴尬的时候……
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比如,上厕所没有纸了

[原文来自:www.777y.com]

包租婆,厕所又没纸啦!怎么避免上厕所没有纸?

其实这种欲哭无泪的情况还有很多,什么排队的时候我在哪条队伍哪条队伍就更慢,在电梯里突然肚子告急想要来一个忍无可忍的屁……今天我们就来聊一聊厕所里这件避无可避的尴尬的事情……

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包租婆,厕所又没纸啦!怎么避免上厕所没有纸?

厕 纸

Toilet Paper

提起厕所,我们离不开厕纸。厕纸的制造过程其实很普通的纸张并没有太大的区别,但是因为用途不同,厕纸以及其他纸巾被设计地极其薄而且极其地脆弱,从而提供人们日常擦拭皮肤 擦屁股 以及清洁物品表面等用途。

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日本奈良时代的厕筹,旁边是用来对比大小的现代厕纸

在古代,纸还不那么地普及,只能用来书写的时候,人们普遍用可以重复使用的东西来清理自己的屁屁,比如我们熟悉的厕筹,还有动物毛皮,布 。但是随着时代变迁,纸越来越普及。我们熟悉的刘姥姥在大观园突然觉得要拉肚子,都是「忙的拉着一个小丫头,要了两张纸」。

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卷纸的制造过程其一

现在,人们一般认为是盖耶提(Joseph C. Gayetty)发明了现代意义上的商品化的卫生纸。1850 年代是家庭清洁的黄金十年,洗碗机和洗衣机都在这段时期问世,但这两项发明都不如商品化的卫生纸那么具革命性。在此之前的美国人一般都用玉米壳以及从报纸、杂志和型录(汇集了商品信息的册子)上撕下来的纸,既好用又没花多少钱。美国一些型录出版商甚至开始在角落打个洞,像是默认他们的产品注定会挂在茅坑,当卫生纸用。

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卷纸的制造过程其二

一般我们用湿韧强度代表纸张在完全润湿状态下的韧性指标。面巾纸一般要求具有湿韧性,毕竟不能一擦脸上的水,纸全变成渣渣糊在脸上了。而厕用卫生纸一般不允许具有湿韧性,就是为了防止在使用后纸张不易分解而堵塞卫生化粪池。丢入马桶很快就能分解掉。如果你家厕所因为你扔进去纸 而不是拉得太多而堵了,那说明:你用错纸了

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两种不同的纸巾,在被水浸泡后表现地不尽相同

纸巾纸的国家标准是 GB/T20808-2011,其中卫生标准是 GB15979,而卫生纸的标准是 GB/T20810-2006。一般包装反面会有标准号,可以通过这个辨别。你也可以自己做实验,把纸巾丢到清水中,看是否会变成渣渣来辨认。

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包租婆,厕所又没纸啦!

Warning! No Toilet Paper!!!

为了避免厕所没纸的尴尬,在装修家里的卫生间时,我们可以安装一个厕所双纸巾架大多数家庭厕所只有一个独立的纸巾架。不管怎么说,只有一卷纸巾实在是没啥安全感,万一前面一个人用的纸巾多了一点,而又来不及换下一卷纸巾的时候,就只能面对无纸可用的窘境。很多人有一个好习惯,在看到纸巾快要用完的时候,会在马桶水箱上放一个新的。但是既然如此,我们为啥不做一个可以放两卷纸的支架呢?

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一个纸巾架真的毫无安全感,因为你根本想不到会因为什么原因上厕所没纸……

不过目前多了一卷纸并没有彻底解决无纸可用的问题。万一两卷纸都在同一时间用完了,怎么办?虽然纸巾清空比起之前多了一倍的时间,但是我们还是遇到同样的问题:包租婆,厕所又没纸啦!在厕所拥有两卷纸巾以后,我们的问题其实变得复杂了一些,选择哪卷卫生纸作为我们的「擦屁屁纸」,成为了整个问题的关键。

经过一段不长的思考和实践以后,我们可以使用三种不同的「擦屁屁纸选择算法」:大策略,小策略以及随机策略。

大策略:始终从最大的卷中取纸(如果一样大,就选近的那个)

小策略:始终从最小的卷中取纸(如果一样大,就选近的那个)

随机策略:放弃思考,随机选择、

不知道你平时是哪一种策略呢?

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随机策略是最自然的,但是如果我们的选择真的是随机的话,我们会平等地选择两个卷,所以它们会被几乎同时地清空……所以为了后来进入厕所的人,也为了我们自己,我们不能草率地做出用哪一卷纸的决定。

如果我们使用大策略,假设我们有 A 和 B 两个卷,但是 A 更大一点,那么这种情况下,我们会先用大的那一卷 A,直到 A 和 B 两个卷一样大。所以 A 和 B 两个卷几乎是匀速地减少,也就是……我们依旧没有办法摆脱两卷纸同时被用完的宿命……

小策略实际上才是最为正确的选择因为我们始终使用较小的那个卷,因为它会越来越小,直到耗尽,然后我们再切换到另外一个全新的卷纸。这样的好处不言而喻,在一卷纸用完以后,另一卷纸还剩足够长,给人们留下了充足的更换另一卷纸的时间。

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建个模型吧

Modeling

虽然经过我们的证明,小策略是一个很完美的避免大家进入厕所以后无纸可用的尴尬策略,但是现实往往很残酷,并不是所有人都意识到了这一点。有的人依旧会选择大的那个,有的人依旧会随机地选择自己用哪卷纸。

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模型很丰满,现实很骨感

为了一般化上面的情况,我们可以定义在所有进入厕所中的人中会有 q 的概率选择小策略,而会有 p 概率的人选择大策略。当然,p + q = 1。对于随机选择的人,其实就对应上面模型中的 q = 1 / 2。

怎么来衡量用纸尴尬情况发生的可能性呢?令 Mn(p) 为两个长度均为 n 的卷纸在一个卷纸用完以后,另一个卷纸的长度的数学期望。如果这个 M 越大,就意味着越安全,留给我们换一卷新的纸的时间也就越多。如果这个 M 越小……我们就只能自求多福不要遇到这种尴尬的情况了……

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高德纳(Donald Ervin Knuth)教授为现代计算机科学的先驱人物,创造了算法分析的领域,在数个理论计算机科学的分支做出基石一般的贡献。在计算机科学及数学领域发表了多部具广泛影响的论文和著作。1974年图灵奖得主。

这个这么关系到大家生活幸福程度的事情,怎么可能没有科学家关注过呢?在 1984 年,高德纳(Donald Ervin Knuth)教授就研究过 Mn(p) 的具体表达式,以及其一些性质。我们可以通过一些简单的情况来熟悉分析的方法。

假设卷纸只有 1 格。那么不管用什么策略,我们都会用掉一格纸,所以 M1(p) = 1。

假设卷纸只有 2 格。我们用 (2, 2) 表示目前卷纸的状态,那么和前面类似,,不管用什么策略,我们都会用掉一格纸,所以这时变成了 (2, 1)。接下来我们有 q 的概率变成 (2, 0),然后 p 的概率变成 (1, 1)。所以最终剩余长度的数学期望为 M2(p) = 2 * q + p = 2 - p

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当 n = 10 时候的表达式,虽然看上去很复杂,但是分析方法和上面其实是一致的

一般的情况我们可以用下面的公式表示这种卷纸状态(也就是前面的长度对)的变化情况。当然,卷纸状态和 M 的值是一一对应的。

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如果两个长度不同,用不同的概率变成两种不同的状态。如果两个长度相同,那么就选一个长度减 1。如果一个已经变成了 0,那么剩余长度就是我们数对中另一个数。

在 Knuth 的论文中,他讨论了在一般的情形下,一个卷纸空了以后另一个卷纸最后剩余长度的数学期望是多少在一个并没有什么约定的社会中,大家如果随便选用一个卷纸,假设卷纸总长度为 n,那么最后一卷的剩余长度会在 n 的平方根量级上。更为具体的表达式为

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以常见的某国产品牌卷纸为例,一卷全新的卷纸长度为 240 格。在随机策略之下,在一卷纸用完以后,另一卷纸将会平均只剩下 17.5 格。这实在是一个很不妙的信号……

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某国产著名纸巾品牌的天猫页面

如果我们模拟一下 100 格的卫生纸在不同的大策略使用者概率情况下的剩余长度,我们会发现,随着小策略的人数比重的增加,一卷纸用完以后,另一卷纸的长度会快速地增加

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横轴为选择大策略的概率,纵轴为剩余长度

需要注意的是,在上面模型的讨论中我们实际上是假定了每个人一次用一格纸。

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结 论

Conclusion

说了这么多,其实如何避免厕所无纸可用是一个需要大家共同努力的事情,总结起来其实就是……

卷纸千万条,策略第一条,

选大不选小,别人两行泪。


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题图来源:电影《功夫》剧照

参考文献:

[1] Donald E. Knuth. The American Mathematical Monthly. Vol. 91, No. 8 (Oct., 1984), pp. 465-470

[2]Toilet Paper - Wikipedia

[3]关于厕纸你不可不知的 36 件事

[4]How does the author findMn(p) in the Toilet Paper Problem

[5]发明厕纸前,古人用什么擦屁股?

[6]为什么国外人大多将厕纸丢进马桶,而中国人不习惯这样?

[7]Toilet Paper Algorithms: I didn't know you had to be a computer scientist to use toilet paper.

[8]RV Toilet Paper Test

本文经授权转载自公众号“中科院物理所”,转载请联系原账号。

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